Решение Логических задач

Задача 1. Пять школьников приехали из пяти различных городов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда вы, ребята?» – спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них:Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев – из Каргополя».

Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коряжмы».

Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа».

Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вельска».

Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме».

Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

Решение. Андреев и Григорьев сказали, что Григорьев из Каргополя. Предположим, что это утверждение верно. Тогда другие их утверждения неверны, Андреев не из Онеги, Данилов не из Вельска. Значит, первое утверждение Данилова ложно, второе истинно, и Андреев живет в Коряжме. Кроме того, первое утверждение Борисова ложно (из Каргополя Григорьев), значит второе утверждение верно: Борисов из Коряжмы. Получилось противоречие: из Коряжмы и Андреев, и Борисов. Значит, предположение о том, что Григорьев из Каргополя неверно.

Рассмотрим тогда вариант, что Григорьев не из Каргополя. Тогда из двух высказываний Андреева верно, что он из Онеги, а из высказываний Григорьева следует, что Данилов из Вельска. Так как Васильев не из Онеги (из Онеги Андреев), то Борисов из Котласа (первое утверждение ложно, второе – истинно), а из слов Борисова ясно, что в Каргополе живет Васильев. Таким образом, получаем: Андреев из Онеги, Борисов из Котласа, Васильев из Каргополя, Григорьев из Коряжмы, Данилов из Вельска.

Примечание. Решать задачи такого типа будет легче, если условие оформить в таблице. Поскольку из условия сразу не ясно, какое утверждение истинно, а какое ложно, обозначим утверждения одного школьника одинаковыми цифрами:

	Онега	Каргополь	Коряжма	Котлас	Вельск
Андреев	1		5
Борисов			2	3
Васильев	3	2
Григорьев		1, 4
Данилов					4, 5

Из таблицы видно, что начать рассуждение лучше всего с рассмотрения утверждения о том, что Григорьев из Каргополя.

Задача 2. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина.

Путешественник послал туземца узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит, что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

Решение. Встреченный островитянин мог ответить только «Я – абориген» (это правда для аборигена и ложь для пришельца). Проводник, повторивший его ответ, является аборигеном.

Задача 3. Может ли крестьянин перевезти через реку волка, козу и капусту, если в лодку вместе с ним помещается только или волк, или коза, или капуста, причем нельзя оставить без присмотра ни волка с козой, ни козу с капустой?

Решение. Может. При первой переправе нужно перевезти козу, при второй – волка (или капусту), при возвращении нужно взять с собой козу (ее нельзя оставить ни с волком, ни с капустой), оставив козу на берегу, перевезти капусту (или волка), после чего вернуться за козой.

Задача 4. Один из попугаев A, B ,C всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий хитрец – иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос «Кто B ?» они ответили:

A: – Лжец.

B: – Я хитрец!

C: – Абсолютно честный попугай.

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

Решение.  Попугай С не может говорить правду, т.к если он говорит правду, то выходит, что попугай В – абсолютно честный попугай, что противоречит  им сказанное. Значит, попугай С – либо лжец, либо хитрец. И з высказывания попугая С, следует, что В – либо лжец, либо хитрец. Значит, попугай А сказал правду, и А – правдивый попугай, а т.к. он сказал, что В - лжец, значит В - лжец. Ну а С - хитрец.

Задача 5. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. На следствии каждый из них сделал два заявления.

Браун: «Я не делал этого. Смит сделал это».

Джонс: «Смит невиновен. Браун сделал это».

Смит: «Я не делал этого. Джонс не делал этого».

Суд установил, что один из них дважды солгал, другой – дважды сказал правду, третий – один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление?

   Решение Рассмотрим три возможности — «преступник Браун», «преступник Смит» и «преступник Джонс».  Если преступник Браун, то он солгал дважды, тогда Джонс и Смит оба сказали дважды правду, что невозможно. Если преступник Джонс, то он сказал правду и ложь, тогда Браун и Смит оба тоже сказали правду и ложь, что невозможно. Значит преступник Смит.

Задача 6. В тетради написано 100 утверждений: «В этой тетради ровно 1 ложное утверждение»; «В этой тетради ровно 2 ложных утверждения»; …; «В этой тетради ровно 100 ложных утверждений». Какое из этих утверждений верно?

Решение. То, что в тетради записано 100 утверждений, каждые два из которых противоречат друг другу, означает, что если среди них и есть верные утверждения, то их не может быть более одного. Посмотрим, может ли здесь быть хотя бы одно верное утверждение. Если верно ровно одно утверждение, то ровно девяносто девять неверных. А такое утверждение в тетради есть: "В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений". 

Задача 7. – У Вовы больше тысячи книг, – сказал Ваня.

– Нет, книг у него меньше тысячи, – возразила Аня.

– Одна-то книга у него наверняка есть, – сказала Маня.

Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы?

Решение. Пусть прав Ваня.  Значит  Аня врёт, но Маня права. Это противоречит условию. Пусть права Маня. Значит у Вовы есть хоть одна книга. Тогда  прав Ваня, и права Аня. Это тоже противоречит условию.  Пусть у Вовы нет ни одной книги. Тогда Ваня и Маня неправы, но права Аня, потому что 0<1000. Ответ: у Вовы ровно 1000 книг или нет книг.

Задача 8.  В конференции участвовало 100 человек – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервали. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?

Решение. Рассмотрим три случая. Если тех и других по 50, то для любого химика среди оставшихся больше алхимиков, и он говорит правду. Для алхимика на самом деле химиков оказывается больше, и он говорит неправду. То есть все заявляют, что алхимиков больше, такая ситуация удовлетворяет условию.

Предположим, что химиков в компании больше. Тогда их по крайней мере 51, а алхимиков не более 49. Разница как минимум в 2, то есть для каждого участника среди оставшихся химиков больше. Что химики и должны сказать, а ответы, что алхимиков больше, идут только от алхимиков, и таких ответов не может оказаться 50 и более.

Аналогично рассуждаем, если алхимиков на самом деле больше. Тогда среди всех, кроме одного, это обстоит так же, и химики (которых не более 49), говорят, что алхимиков больше, а алхимики так не говорят, то есть ответов "алхимиков больше" снова не более 49.  После опроса 50 участников можно сделать вывод, что тех и других поровну.  Ответ: 50 химиков.

Задача 9.  Жители города A говорят только правду, жители города B  – только ложь, а жители города C – попеременно правду и ложь (то есть из каждых двух высказанных ими утверждений одно истинно, а другое – ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» – спросил дежурный по части. «В городе C», – ответили ему. Дежурный смог определить, в какой город должна приехать пожарная машина, через час пожар был потушен. В каком городе был пожар

Решение.  Для того, чтобы узнать, куда отправить пожарную машину, нужно выяснить из какого города был звонок, так как в условии сказано, что информация о пожаре – истинна. Если звонок был из А, то второй ответ оказался бы ложным, что невозможно для жителей города А. Если звонок был из В, то фраза «у нас пожар» означает, что пожар либо в А, либо в С; фраза в «городе С» означает, что пожар точно не в С; значит, пожар в городе А. Если звонок был из С, то оба утверждения либо истинны, либо ложны одновременно, что невозможно для жителей города С. Ответ: в городе А.

Задача 10.  В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

    Решение.   Представим расположение жидкостей в сосудах в виде таблицы, где будем отмечать, что жидкость находится в сосуде знаком «+», а то, что её там быть не может знаком «−». В условии явно сказано, что, например, вода и молоко не в бутылке, отметим это в таблице. Из того, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом получаем, что в кувшине не лимонад и не квас.

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	−	−		−
Лимонад			−	−
Квас			−
Вода	−			−

Получаем, что в банке может быть только квас, следовательно, в других сосудах он не находится. Молоко может находиться только в кувшине, значит, в кувшине не лимонад, не квас и не вода. Продолжая заполнять таблицу, получим.

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	−	−	+	−
Лимонад	+	−	−	−
Квас	−	−	−	+
Вода	−	+	−	−

Таким образом, получаем, что молоко — в кувшине, лимонад — в бутылке, квас — в банке, вода — в стакане.

 Задача 11.  На доске через запятую было написано несколько натуральных чисел, причём разность любых двух соседних чисел равна одному и тому же числу. Коля заменил в этой записи разные цифры разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Восстановите исходные числа, если на доске написано Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС.

Решение.  Заметим, что все эти числа можно определить, если знать первое число и разность d двух соседних. Посмотрим на первое число. Про него можно сказать только, что оно однозначное. А что можно сказать про разность d? Посмотрев на первое и второе, можно сказать только, что d < 90. Зато, так как у второго и третьего чисел совпадают первые цифры, они лежат в одном десятке, и их разность (равная d) не превосходит 9. А значит, прибавив d к первому (однозначному) числу, мы можем получить только двузначное число, начинающееся на 1, то есть Е = 1. Аналогично, Л = 2, С = 3. Получаем запись: Т, 12, 1К, 2А, 33. Заметим, что 1К - 12 = 2А - 1К = 33 - 2А = d, откуда 33 - 12 = 3d, d = 7. Мы восстановили последнее число и разность. Дальше легко восстановить запись: 5, 12, 19, 26, 33.  Ответ: 5, 12, 19, 26, 33.

Задача 12.  В словосочетании из двух слов каждую букву заменили ее номером в алфавите: 15618191862610141331718162136141. Какое словосочетание зашифровано?

Ответ: Неразрешимая проблема.

Задача 13.  Математик пошел к приятелю в гости, но забыл номер его квартиры. Он знал, что:

~       если верно, что номер квартиры кратен двум, то он больше, чем 50, но меньше, чем 59;

~       если верно, что этот номер не кратен трем, то он больше, чем 60, но меньше, чем 69;

~       если верно, что этот номер не кратен четырем, то он больше, чем 70, но меньше, чем 79.

Можно ли по этим данным вычислить номер квартиры?

Решение.  Пусть N–номер искомой квартиры. Если бы число N было кратно четырем, то оно было бы кратно и двум, тогда по первому условию 50<N<59. Среди чисел этого интервала есть два числа, кратных четырем: 52 и 56. Оба эти числа не кратны трем, тогда согласно  второму  условию 60<N<69.  Получили  противоречие. Значит, N не может быть кратно четырем. Тогда из третьего условия получаем 70<N<79, причем N не должно быть кратно двум и должно быть кратно трем. Такое число существует, причем единственное: N=75 .Ответ: может.

Задача 14.  К берегу Нила подошла компания из шести человек: три бедуина, каждый со своей женой. У берега находится лодка с вёслами, которая выдерживает только двух человек. Бедуин не может допустить, чтобы его жена находилась без него в обществе другого мужчины. Может ли вся компания переправиться на другой берег?

Решение  Переправу  можно  осуществить  следующим  образом. Сначала одна из жен перевозит двух других по очереди на другой берег. Затем она возвращается, и мужья уже переправленных жен переправляются сами. Один из них перевозит свою жену обратно и возвращается  на  другой  берег  с  оставшимся  на  этом  берегу  бедуином. Жена, уже переправившаяся на другой берег, возвращается и перевозит по очереди двух других жен. 

Задача 15. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Нельзя: двигаться по мосту без фонарика, светить издали, носить друг друга на руках, кидать фонарик).

Решение  Очевидно, что малыш и бабушка должны идти вместе. По-скольку фонарик нужно вернуть назад, малыш с бабушкой должны идти не первыми. Получаем: идут папа и мама (2 мин.), возвращается  папа  с  фонариком  (1  мин.),  переходят  малыш  и  бабушка (10 мин.),  мама  возвращается  с  фонариком  (2  мин.)  и  переходит вместе с папой (2 мин.).

Задача 16.  Троим мудрецам завязывают глаза и говорят, что каждому из них на голову надели один из пяти колпаков, среди которых два зеленых и три красных. Затем глаза развязывают и просят, глядя на двух других мудрецов, определить цвет своего колпака. Все три колпака были красные. Через несколько минут один мудрец дал правильный ответ. Как он установил цвет своего колпака?

Решение.  Приведем  рассуждения  ответившего  мудреца  (обозначим его A, а двух других –B и C). Предположим, у меня надет зеленый колпак. Тогда мудрец B, видя перед собой красный и зеленый колпаки, должен рассуждать так: «если у меня надет зеленый колпак, то  C должен был сразу определить цвет своего колпака, значит, у меня на голове красный колпак», значит, B должен был дать ответ. Но так как он ответ не дает, значит, у меня на голове красный колпак