Логические задачи

Логическая задача – термин довольно условный. Без логики не обойтись при решении любой олимпиадной задачи. Однако есть класс задач, которые так называются. Во-первых, это задачи, в которых речь идет об истинных и ложных утверждениях, во-вторых, задачи, в которых присутствуют отрицания каких-либо утверждений, необходимо различать высказывания, относящиеся к какому-либо объекту или к любому объекту (неявно присутствуют кванторы), в-третьих, это задачи, в которых решение основано на переборе возможных вариантов на основе условия задачи (для этого могут использоваться схемы, таблицы и т.д.).

Задача 1. Пять школьников приехали из пяти различных городов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда вы, ребята?» – спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них:

Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев – из Каргополя».

Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коряжмы».

Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа».

Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вельска».

Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме».

Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

Задача 2. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал туземца узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит, что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

Задача 3. Может ли крестьянин перевезти через реку волка, козу и капусту, если в лодку вместе с ним помещается только или волк, или коза, или капуста, причем нельзя оставить без присмотра ни волка с козой, ни козу с капустой?

Задача 4. Один из попугаев A, B ,C всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий хитрец – иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос «Кто B ?» они ответили:

A: – Лжец.

B: – Я хитрец!

C: – Абсолютно честный попугай.

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

Задача 5. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. На следствии каждый из них сделал два заявления.

Браун: «Я не делал этого. Смит сделал это».

Джонс: «Смит невиновен. Браун сделал это».

Смит: «Я не делал этого. Джонс не делал этого».

Суд установил, что один из них дважды солгал, другой – дважды сказал правду, третий – один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление?

Задача 6. В тетради написано 100 утверждений: «В этой тетради ровно 1 ложное утверждение»; «В этой тетради ровно 2 ложных утверждения»; …; «В этой тетради ровно 100 ложных утверждений». Какое из этих утверждений верно?

Задача 7. – У Вовы больше тысячи книг, – сказал Ваня.

– Нет, книг у него меньше тысячи, – возразила Аня.

– Одна-то книга у него наверняка есть, – сказала Маня.

Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы?

Задача 8. В конференции участвовало 100 человек – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервали. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?

Задача 9. Жители города A говорят только правду, жители города B  – только ложь, а жители города C – попеременно правду и ложь (то есть из каждых двух высказанных ими утверждений одно истинно, а другое – ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» – спросил дежурный по части. «В городе C», – ответили ему. Дежурный смог определить, в какой город должна приехать пожарная машина, через час пожар был потушен. В каком городе был пожар?

Задача 10. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Задача 11. На доске через запятую было написано несколько натуральных чисел, причём разность любых двух соседних чисел равна одному и тому же числу. Коля заменил в этой записи разные цифры разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Восстановите исходные числа, если на доске написано Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС.

Задача 12. В словосочетании из двух слов каждую букву заменили ее номером в алфавите: 15618191862610141331718162136141. Какое словосочетание зашифровано?

Задача 13. Математик пошел к приятелю в гости, но забыл номер его квартиры. Он знал, что:

~      если верно, что номер квартиры кратен двум, то он больше, чем 50, но меньше, чем 59;

~      если верно, что этот номер не кратен трем, то он больше, чем 60, но меньше, чем 69;

~      если верно, что этот номер не кратен четырем, то он больше, чем 70, но меньше, чем 79.

Можно ли по этим данным вычислить номер квартиры?

Задача 14. К берегу Нила подошла компания из шести человек: три бедуина, каждый со своей женой. У берега находится лодка с вёслами, которая выдерживает только двух человек. Бедуин не может допустить, чтобы его жена находилась без него в обществе другого мужчины. Может ли вся компания переправиться на другой берег?

Задача 15. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Нельзя: двигаться по мосту без фонарика, светить издали, носить друг друга на руках, кидать фонарик).

Задача 16. Троим мудрецам завязывают глаза и говорят, что каждому из них на голову надели один из пяти колпаков, среди которых два зеленых и три красных. Затем глаза развязывают и просят, глядя на двух других мудрецов, определить цвет своего колпака. Все три колпака были красные. Через несколько минут один мудрец дал правильный ответ. Как он установил цвет своего колпака?